
پاسخ معمای المپیادی امروز ۱ شهریور
پاسخ: ۵
لم: در هر چهار ضلعی محدب مجموع طول قطرها از مجموع طول دو ضلع روبرو بیشتر است.
با نوشتن نامساوی مثلث برای مثلثهای ABI و CDI مشاهده میکنیم که: AD + BC > AB + CD
لم: در هر چهار ضلعی محدب مجموع طول قطرها از مجموع طول دو ضلع روبرو بیشتر است.
با نوشتن نامساوی مثلث برای مثلثهای ABI و CDI مشاهده میکنیم که: AD + BC > AB + CD
ادعا میکنیم اگر مجموع فواصل ۹ زوج نقطه بیشترین مقدار شود، باید هر دو مسیری بین نقاط ابتدایی و انتهایی همدیگر را قطع کنند. زیرا اگر میل نقطه A به B و میل نقطه C به D برود و AB و CD برخورد نداشته باشند، طبق لم بالا با بردن میل نقطه A به D و میل نقطه C به B مسیر بیشتری طی میشود. حال به میل نقطه ب در صورت سوال نگاه کنید. این میل تنها به نقطهای ۷ میتواند منتقل شود تا با تمام مسیرها برخورد داشته باشد. (اگر به این نقطه نرود با مسیری که به نقطه ۷ میرسد برخورد ندارد.) پس نقطه ب به نقطه ۷ میرود. به همین شکل شمال غربی ترین میل نیز باید به نقطه ۳ برود. به همین طریق میتوان بررسی کرد که میلهای نقاط ج، بالا، پایین و سمت راست الف نیز باید به ترتیب به نقاط ۶ ،۲ ،۴ و ۸ بروند تا با تمام خطوط دیگر برخورد کند اما میل های روی قطر مربع باقی می مانند. این میل ها به هر ترتیبی به نقط ۵ ،۱ و ۹ منتقل شوند مجموع جابه جایی ثابت میماند. بنابراین برای جایگذاری میل نقطه الف سه حالت وجود دارد و به طور یکتا مشخص نمی شود.
نظرات شما